集合的概念

元素与集合的基本概念

通常，我们称所研究的对象为元素（element），而由这些元素组成的整体称为集合（set），简称集。在一个特定的集合中，元素是互不相同的；换句话说，集合中的元素不会重复出现。若两个集合中包含的元素完全相同，则这两个集合被认为是相等的。

例如 “1~10之间的所有偶数”构成一个集合，其中元素为2, 4, 6, 8, 10，而1, 3, 5, 7, 9等不属于该集合。“较小的数”不能构成集合，因为其元素不明确。

元素与集合及其关系的表达式

我们使用大写字母 A, B, C,··· 来表示集合；而小写字母 a, b, c,··· 则用来表示集合中的元素。如果元素 a 是集合 A 的一部分，我们称 a 属于集合 A，记作 a∈A；反之，如果元素 a 不在集合 A 内，则称 a 不属于集合 A，记作 a∉A。

例如，若用 A 表示前面例子（1）中“1~10 之间的所有偶数”组成的集合，则有 4∈A，3∉A，等等。

常用数集及其符号记法

符号“N”：

自然数集，正整数集以N*或N+表示。

符号“Z”：

整数集，由全体整数组成。

符号“Q”：

有理数集，包含所有有理数。

符号“R”：

实数集，由全体实数组成。

什么是描述法

通常情况下，假设 A 是一个集合，那么集合 A 中所有满足特定条件 P(x) 的元素 x 组成的集合可表示为 {x∈A | P(x)}。这种描述集合的方法被称为描述法。

例2：

用描述法来表示以下集合：

（1）所有大于-5且小于5的整数；

（2）方程 x³ = 8 的所有实数根。

解答：

（1）我们将所有大于-5且小于5的整数组成的集合记为 A ，因此：A = { x丨x ∈ Z, -5 < x < 5 }

（2）对于方程 x³ = 8 的实数根，我们构建集合 B ，所以：B = { x丨x³ = 8, x ∈ R }

什么是列举法

列举法是通过将集合的所有元素逐一列出，并用花括号“{ }”括起来，以此表示集合。

例1：

请用列举法来表示以下集合：

（1）所有小于10的自然数；

（2）方程 x² = x 的所有实数根。

解答：

（1）我们将所有小于10的自然数组成的集合记为 A，因此，A={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}。

（2）对于方程 x² = x 的实数根，我们构建集合 B，所以 B={0, 1}。

综合练习

试分别用描述法和列举法表示下列两个集合：

（1）方程 x² - 2 = 0 的所有实数根组成的集合 A ；

描述法

A = { x ∈ R丨x² - 2 = 0 }

列举法

A = { √2, -√2 }

（2）由大于 10 且小于 20 的所有整数组成的集合 B 。

描述法

B = { x ∈ Z丨10 < x < 20 }

列举法

B = { 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 }

课后练习

判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由

（1）与定点 A 、 B 等距离的点

（2）高中学生中的游泳能手

用符号 “∈” 或符号 “∉” 填空：

0 __ N；-3 __ N；0.5 __ Z；√2 __ Z；⅓ __ Q；π __ R

用适当的方法表示下列集合

（1）由方程 x2－9=0 的所有实数根组成的集合

（2）一次函数 y=x+3 与 y=－2x+6 图象的交点组成的集合

（3）不等式 4x－5＜3 的解集

把下列集合用另一种方法表示出来

（1）{2，4，6，8，10}

（2）由 1，2，3 这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数

（3）{x∈N | 3＜x＜7}

（4）中国古代四大发明

参考答案

判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由：

（1）是，即线段 AB 的垂直平分线。

（2）不是，因为游泳能手没有具体的划分标准。

用符号 “∈” 或符号 “∉” 填空：

∈；∉；∉；∉；∈；∈

用适当的方法表示下列集合

（1）{－3，3}

（2）{(1，4)}

（3）{x | x＜2}

把下列集合用另一种方法表示出来

（1）{x | x=2k，k= 1，2，3，4，5}

（2）{1，2，3，12，21，13，31，23，32，123，132，213，231，312，321}

（3）{4，5，6}

（4）{指南针，活字印刷，造纸术，火药}